Поместим внутри треугольника АВС точку D и проведём отрезки от неё к вершинам треугольника. Продолжим отрезок AD до пересечения со стороной СВ и обозначим точку пересечения через Е.

Рассмотрим попарно треугольники АВЕ и ВDE и треугольники АЕС и DEC.

Для первой пары по теореме косинусов

|BD|²=|BE|²+|DE|²-2|BE|·|DE|·cos α и |AB|²=|BE|²+|AE|²-2|BE|·|AE|·cos α

Так как |DE|<|AE|, то |DE|²<|AE|² и (2|BE|·|DE|·cos α)<(2|BE|·|AE|·cos α). Значит, (|BE|²+|DE|²-2|BE|·|DE|·cos α)<(|BE|²+|AE|²-2|BE|·|AE|·cos α). Следовательно, |BD|²<|AB|², тогда |BD|<|AB|

Для второй пары по теореме косинусов

|DC|²=|CE|²+|DE|²-2|CE|·|DE|·cos β и |AC|²=|CE|²+|AE|²-2|CE|·|AE|·cos β

Так как |DE|<|AE|, то |DE|²<|AE|² и (2|CE|·|DE|·cos β)<(2|CE|·|AE|·cos β). Значит, (|CE|²+|DE|²-2|CE|·|DE|·cos β)<(|CE|²+|AE|²-2|CE|·|AE|·cos β). Следовательно, |DC|²<|AC|², тогда |DC|<|AC|

Итак, имеем два неравенства |DВ|<|AB| и |DC|<|AC|. Складываем почленно оба неравенства и получаем

|DB|+|DC| < |AB|+|AC|, что и требовалось доказать.